Games101 作业1：变换

作业 1

作业1是对变换章节所学知识的应用和练习。作业提供了一个基于 Eigen 和 OpenCV 库的光栅化程序框架。该框架定义了一个等腰三角形，需要我们在 main.cpp 中实现以下三个任务：

  1. 实现 get_model_matrix 函数中的旋转变换矩阵，让等腰三角形绕 Z 轴旋转；
  2. 实现 get_projection_matrix 函数中的投影变换矩阵，使等腰三角形正确投影到显示器上；
  3. 实现一个 get_rotation 函数， 使等腰三角形可以绕任意轴旋转；

1. 绕 Z 轴旋转

这个功能点直接使用绕 Z 轴的旋转矩阵即可。

需要注意的是，C++ 中三角函数输入值是弧度值，而 get_model_matrix 的形参输入是角度值，所以我们需要转换。 \[ 1^\circ=\frac{\pi}{180}\mathbf{rad} \] 代码实现如下：

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Eigen::Matrix4f get_model_matrix(float rotation_angle)
{
    Eigen::Matrix4f model = Eigen::Matrix4f::Identity();

    // input of cos and sin function is radian,
    // so we need convert rotation_angle from degree to radian
    rotation_angle *= MY_PI / 180;
    float c = cos(rotation_angle);
    float s = sin(rotation_angle);

    Rotate around Z-axis
    model << c, -s, 0, 0,
             s, c, 0, 0,
             0, 0, 1, 0,
             0, 0, 0, 1;

    return model;
}

2. 投影变换矩阵

get_projection_matrix 函数的形参是由 eye_fov（垂直视角）、aspect_ratio（纵横比）、dNear（近平面距离）、dFear（远平面距离）构成。所以需要利用视角、纵横比和 zNear 的关系才能得到近平面的 l、r、t、b 参数。具体公式推导见 笔记

这个部分代码如下：

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// fov 需要转换为弧度值
eye_fov *= MY_PI / 180;
float height = abs(zNear) * tan(eye_fov * 0.5f) * 2;
float width = height * aspect_ratio;

这里代码没有用 l、r、t、b 是因为 height = t - b，width = r - l，而作业 1 相机在做完视图变换后，位置已经在原点，所以 l+r = 0，t + b = 0。

所以正交投影矩阵可以简化为： \[ \mathbf M_{ortho}= \begin{bmatrix} \frac{2}{w}&0&0&0\\ 0&\frac{2}{h}&0&0\\ 0&0&\frac{2}{n-f}&\frac{n+f}{f-n}\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \] 而透视截锥体到正交长方体的变换为 \[ \mathbf M_{frustum}= \begin{bmatrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&-nf\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix} \] 最后代码实现如下：

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Eigen::Matrix4f get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio,
                                      float dNear, float dFar)
{
    Eigen::Matrix4f projection = Eigen::Matrix4f::Identity();

    // dNear and dFar are positive
    float zNear = -dNear, zFar = -dFar;

    // From perspective to orthographic projection
    Eigen::Matrix4f frustum;
    frustum << zNear, 0, 0, 0,
             0, zNear, 0, 0,
             0, 0, zNear+zFar, -zNear * zFar,
             0, 0, 1, 0;

    eye_fov *= MY_PI / 180;
    float height = abs(zNear) * tan(eye_fov * 0.5f) * 2;
    float width = height * aspect_ratio;

    // Orthographic projection
    Eigen::Matrix4f ortho;
    ortho << 2 / width, 0, 0,0,
             0, 2 / height, 0, 0,
             0, 0, 2 / (zNear - zFar), (zNear + zFar) / (zFar-zNear),
             0, 0, 0, 1;

    projection = ortho * frustum;

    return projection;
}

2.1 关于三角形上下颠倒的问题

这个问题是由于代码框架输入的 n，f（即 zNear 和 zFar）实际上是距离而不是我们推到矩阵时所用的坐标，所以我们需要为其加上负号。为了避免歧义，我已经将形参的 zNear 和 zFar 改为了 dNear 和 dFar。

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Eigen::Matrix4f get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio,
                                      float dNear, float dFar)
{
    Eigen::Matrix4f projection = Eigen::Matrix4f::Identity();

    // dNear and dFar are positive
    float zNear = -dNear, zFar = -dFar;

3. 绕任意轴旋转

这个问题就要用到罗德里格旋转公式（Rodrigues’ rotation formula）。 \[ \mathbf R(\boldsymbol n,\alpha)=\cos(\alpha)\mathbf I+ (1-\cos\alpha)\boldsymbol{nn^{\mathbf T}}+ \sin\alpha \underbrace{ \begin{bmatrix} 0&-n_z&n_y\\ n_z&0&-n_x\\ -n_y&n_x&0 \end{bmatrix} }_{\mathbf N} \] 需要注意的是该公式是基于 \(3\times 3\) 矩阵的，所以最后我们需要讲计算结果转换为齐次坐标的 \(4\times4\) 矩阵。

代码如下：

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Eigen::Matrix4f get_rotation(Vector3f axis, float angle)
{
    float c = cos(angle);
    float s = sin(angle);
	
    // 单位化轴向量
    axis.normalize();

    Eigen::Matrix3f n;
    n << 0, -axis.z(), axis.y(),
         axis.z(), 0, -axis.x(),
         -axis.y(), axis.x(), 0;

    Eigen::Matrix3f rot3f = c * Eigen::Matrix3f::Identity() + (1 - c) * axis * axis.transpose() + s * n;

    Eigen::Matrix4f rot4f = Eigen::Matrix4f::Identity();

    rot4f.block<3, 3>(0, 0) = rot3f;

    return rot4f;
}

这里没有使用弧度转换是因为该函数是被 get_model_matrix 调用，而 get_model_matrix 已经转换过弧度了。

4. Bug：数组越界（Segmentfault 0xc0000005）

当绕某些轴旋转时（如 X 轴），会遇到数组越界的问题，导致程序崩溃。Debug 后发现问题出在 Rasterizer.cpp，set_pixel 函数中的判断语句。

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void rst::rasterizer::set_pixel(const Eigen::Vector3f& point, const Eigen::Vector3f& color)
{
    //old index: auto ind = point.y() + point.x() * width;
    if (point.x() < 0 || point.x() >= width ||
        point.y() < 0 || point.y() >= height) return;
    auto ind = (height-point.y())*width + point.x();
    frame_buf[ind] = color;
}

该函数的功能是判断像素点在不在投影范围内，如果在其中，就将改像素信息写入 frame_buf 中，否则跳过该像素。

frame_buf 是将二维像素信息用一维数组保存，大小为 700 x 700 即 490000。像素点坐标到数组序号的转换公式是

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auto ind = (height-point.y())*width + point.x();

如果按照判断条件，当出现如点 \((664, 0)\) 时，改点的判断为 false 从而按照公式计算出序号 ind = 490664，从而导致数组越界。

因此判断条件包含 y 为 0 的情况。改为，

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if (point.x() < 0 || point.x() >= width ||
    point.y() <= 0 || point.y() >= height) return;

5. 最终效果

绕向量 \((3, 3, 0)^\mathbf T\)旋转：

相关链接

笔记：计算机图形学笔记(1)：变换

完整源码：Github

图形学 > Games101
#图形学 #C++
Games101 作业1：变换
http://blog.ashechol.top/posts/82c3b933.html
作者
Ashechol
发布于
2023年1月5日
许可协议